Ratnarianthi's Blog

Just another WordPress.com weblog

  • WeLcome tO My bLOg ^^

  • CaLendar

    December 2010
    M T W T F S S
    « May   Mar »
     12345
    6789101112
    13141516171819
    20212223242526
    2728293031  
  • My Zodiac

  • My Pet

Aproksimasi Terbaik & Kuadrat Terkecil

Posted by ratnarianthi on December 29, 2010

Dalam kehidupan sehari-hari, tak jarang kita mendengar kata ”aproksimasi”. Apakah aproksimasi itu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan contoh berikut. Misalnya seseorang melakukan penghitungan:

  • Transaksi penjualan Apotik Sehat hari ini adalah Rp 1.000.000,00.
  • Wisatawan asing yang mengunjungi Pulau Bali di tahun 2009 sebanyak 2.500.000 orang.

Kegiatan menghitung di atas menghasilkan suatu bilangan yang pasti, dapat dianggap tanpa ada suatu kesalahan. Namun ketika seseorang melakukan pengukuran suhu dalam suatu ruangan dan diperoleh suhu ruangan tersebut adalah 25 derajat Celcius, hasil pengukuran itu merupakan hasil yang tidak pasti karena suhu ruangan tersebut mungkin 24,8 derajat Celcius, sehingga dibulatkan saja menjadi 25 derajat Celcius. Jadi hasil dari kegiatan mengukur adalah suatu bilangan yang tidak eksak atau tidak pasti, ada suatu kesalahan. Akan tetapi hasil pengukuran ini mendekati nilai sebenarnya. Dengan kata lain, hasil pengukuran adalah suatu bilangan pendekatan atau pembulatan. Pendekatan inilah yang disebut aproksimasi.

Dalam matematika khususnya aljabar linier, persoalan aproksimasi dapat diselesaikan dengan menggunakan proyeksi ortogonal.

  • Proyeksi Ortogonal Dipandang sebagai Aproksimasi

Jika P adalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 dan W adalah sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Q pada W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W .

Sehingga, jika u = , jarak antara P dan W adalah

Dengan kata lain, di antara semua vektor w pada W, vektor w = projwu meminimalkan jarak  .

Ada cara lain untuk memahami gagasan ini. Pandanglah u sebagai vektor tetap yang akan kita aproksimasikan dengan menggunakan sebuah vektor pada W.  Setiap aproksimasi w semacam ini akan menghasilkan sebuah “vektor kesalahan” (“error vector”).

u w

Yang tidak dapat dijadikan sama dengan 0, kecuali jika u terletak pada W. Tetapi dengan memilih

w = projwu

Kita dapat menjadikan panjang vektor kesalahan

Sekecil mungkin. Sehingga, kita dapat mendeskripsikan projwu sebagai “aproksimasi terbaik” untuk u relatif terhadap vektor-vektor pada W.

  • Teorema Aproksimasi Terbaik

Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasilkali dalam V, dan jika u adalah sebuah vektor pada V, maka projwu adalah aproksimasi terbaik ( best approximation ) bagi u pada , dalam pengertian bahwa

Untuk setiap vektor w pada W yang bukan projwu.

  • Solusi Kuadrat Terkecil dari Sistem Linier

Sistem persamaan linier yang tidak konsisten sering kita jumpai dalam berbagai aplikasi bidang fisika.  Misalnya sangat umum di jumpai  permasalahan fisika yang menghasilkan sebuah persamaan linier Ax = b, yang seharusnya konsisten secara teoritis, namun menjadi tidak karena adanya “kesalahan-kesalahan pengukuran” pada entri  A dan b yang mengubah sistem tersebut sehingga tidak konsisten. Dalam keadaan seperti ini, kita harus berupaya untuk mencari nilai x yang “sedekat mungkin” dengan solusi yang diharapkan dan dapat meminimalkan nilai merujuk pada hasilkali dalam Euclidean. Jumlah dipandang sebagai suatu ukuran dari “kesalahan” yang terjadi akibat memandang x sebagai solusi aproksimasi dari sitem linier Ax = b. Jika sistem konsisten dan x adalah solusi eksaknya, maka kesalahannya adalah nol, karena . Secara umum, semakin besar nilai , semakin buruk nilai x sebagai aproksimasi solusi sistem tersebut.  Masalah-masalah dalam kuadrat terkecil, misalnya jika diberikan sebuah sistem linier  Ax = b yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, tentukan sebuah vektor x, jika mungkin, yang meminimalkan nilai merujuk pada hasilkali dalam Euclidean pada Rm. Vektor semacam ini disebut sebagai solusi kuadrat terkecil ( least square solution ) dari Ax = b.

Agar kita dapat lebih memahami asal mula istilah kuadrat terkecil (least square), kita umpamakan saja e = Ax – b, yang dapat dipandang sebagai vektor kesalahan yang dihasilkan oleh aproksimasi terhadap x. Jika e = ( e1, e2, … , em ), maka solusi kuadrat terkecil akan meminimalkan , dan oleh karenanya juga meminimalkan , sehingga dari sinilah istilah kuadrat terkecil muncul.

Untuk menyelesaikan permasalahan kuadrat terkecil, misalkan W adalah ruang kolom dari A. Untuk setiap matriks x, n× 1, hasil kali Ax adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor kolom dari A. Sehingga, dengan bervariasinya nilai x di dalam Rn, vektor Ax juga akan bervariasi pada berbagai kombinasi linier yang mungkin dari vektor-vektor kolom dari A, maksudnya Ax bervariasi di seluruh ruang kolom W. Secara geometrik, untuk menyelesaikan kuadrat terkecil kita harus mencari vektor x pada Rn, sehingga Ax adalah vektor terdekat ke b di dalam W. Berdasarkan Teorema Aproksimasi Terbaik, bahwa proyeksi ortogonal b pada W merupakan vektor terdekat dari b di dalam W. Agar sebuah vektor pada x dapat menjadi solusi kuadrat terkecil dari Ax = b, vektor ini harus memenuhi

Ax = projwb

Kita mengetahui bahwa

ortogonal terhadap W. W adalah ruang kolom dari A, berdasarkan teorema b – Ax terletak pada ruang nul dari matriks AT. Oleh karena itu, sebuah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b harus memenuhi


atau secara ekuivalen,

Sistem persamaan di atas disebut sistem normal yang berhubungan dengan Ax = b dan tiap-tiap persamaan di dalam sistem ini disebut persamaan normal yang berhubungan dengan Ax = b . Fakta-fakta tentang sistem normal:

1.       Sistem normal melibatkan n persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui.

2.       Sistem normal bersifat konsisten karena dipenuhi oleh sebuah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b

3.       Sistem normal dapat memiliki jumlah solusi yang tak terhingga banyaknya dimana semua solusi itu adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b

Teorema

Untuk sistem linier sebarang Ax = b , sistem normal yang terkait

bersifat konsisten, dan semua solusi dari sistem normal adalah solusi kuadrat terkecil dari Ax = b . Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, dan x adalah solusi kuadrat terkecil sebarang dari Ax = b , maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

projwb = Ax


  • Keunikan Solusi Kuadrat Terkecil

Jika A adalah matriks m × n, maka pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.

a)      A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier.

b)      ATA dapat dibalik.

Bukti:

Disini kita hanya membuktikan a→b.

Kita asumsikan a memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier. Matriks ATA memiliki ukuran n × n sehingga kita dapat membuktikan matrks ini dapat dibalik dengan menunjukkan sistem linier  yang hanya memiliki solusi trivial. Tetapi jika x adalah sebuah solusi dari sistem ini, maka Ax terletak pada ruang nul dari  AT dan juga ruang kolom dari A. Berdasarkan teorema ruang-ruang ini adalah komplemen-komplemen ortogonal, mengakibatkan Ax = 0. Namun A memiliki vektor-vektor kolom yang bebas linier sehingga x = 0.

Jika A adalah matriks m × n yang memiliki vektor-vektor  kolom yang bebas linier, maka untuk setiap matriks b, m × 1, sistem linier Ax = b memiliki sebuah solusi kuadrat terkecil yang unik. Solusi ini diberikan oleh

x = (ATA)-1 ATb

Selanjutnya, jika W adalah ruang kolom dari A, maka proyeksi ortogonal b pada W adalah

  • Contoh Soal :

NI WAYAN RATNA RIANTHI

G1D009041

3 Responses to “Aproksimasi Terbaik & Kuadrat Terkecil”

  1. WAH MAKSIH BANGET YA. GOOD NICHE, GOOD BLOG

  2. adimath17 said

    wahhh… luar biasa… this realy a mathematic’s blog… i hope u can teach me… salam kenal, adi

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: