Subgrup; Soal dan Pembahasan

1. Misalkan H dan K masing-masing subgrup dari G. Apakah  juga merupakan subgrup dari G?

Jawab:

Ambil sebarang  . Maka dan .

Karena H subgrup, maka dan karena K subgrup, maka .

Akibatnya, .

Jadi, sifat tertutup terpenuhi.

Selanjutnya karena dan H subgrup maka . karena dan K subgrup maka . Dengan demikian, . Jadi sifat invers dipenuhi.

Kesimpulannya, adalah subgrup dari G.

2. Z merupakan himpunan bilangan bulat dan (Z, +) merupakan grup. H = 3Z adalah himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukkan bahwa H ≤ B.

Jawab:

Kita ketahui bahwa  dan . Untuk membuktikan H subgrup dari Z,

Ambil  akan dibuktikan bahwa (a+b) ϵ H dan .

berarti a = 3k dengan k ϵ Z. b ϵ H berarti b = 3h dengan h ϵ Z. Oleh karena itu,

a + b = 3k +3h = 3(k + h) dengan (k + h) ϵ Z, karena (Z, +) suatu grup . sehingga (a + b) ϵ H.

Jadi, . Terbukti bahwa H subgrup dari Z.